Wahrheitstabelle der Logik

Das Wahre lässt sich in der Realität selten in deutlich abgegrenzter Form vorfinden, meistens findet sich mindestens ein kleines bisschen Lärm im Signal, und ein kleines bisschen Signal im Lärm. Um aber zu wissen wovon gesprochen wird, wenn Worte wie ‘Konjunktion’ (‘AND’) oder ‘Disjunktion’ (‘OR’) verwendet werden, mache ich hier eine Auflistung von 16 möglichen Kombinationen aus zwei Eingängen A und B, die möglichst anschaulich sein soll.

Es sind dies

  1. Tautologie
  2. Null
  3. Proposition A
  4. Proposition B
  5. Negation B
  6. Negation A
  7. Konjunktion
  8. Disjunktion
  9. Exklusive Disjunktion
  10. Alternative Negation
  11. Konjunktive Negation
  12. Bikonditional
  13. Materiale Nichtimplikation
  14. Materiale Implikation
  15. Umgekehrte Nichtimplikation
  16. Umgekehrte Implikation

Wir haben 16 Logiken, und jede einzelne urteilt anders über die möglichen Kombinationen der Signale 1 und 0 unserer zwei Eingänge A und B.

Es beginnt ganz einfach: rot steht für wahr, weiss steht für falsch. Wir könnten auch sagen, rot stehe für Ja, weiss für Nein, oder rot für Ein, weiss für Aus, oder gar rot für rot und weiss für weiss usw usf. Der Anschaulichkeit wegen sprechen wir jedoch von wahr und falsch; ‘Logik an sich’ wird bevorzugt auch für diese beiden Kategorien verwendet.

Die erste Logik, die ‘Tautologie’, ist leichtgläubig, sie weiss nicht einmal, dass es Unwahres geben kann. Sie glaubt alles. Und sie ist auch nicht besonders klug – wenn A z.B. sagt, dass er selber schuldig (0) sei, und gleich darauf, dass er unschuldig (1) sei, so glaubt diese Logik frohen Mutes beides.

1. Tautologie

Wahrheit

TRUE

Die zweite Logik ist das Gegenteil, sie ist äusserst zynisch. In ihren Augen ist alles Lüge. Sie ist ähnlich vergesslich und einseitig wie ‘Tautologie’.

2. Null

Falschheit
FALSE

Wir verwenden für die Darstellung der Eingänge A und B Kreise, wobei je ein Kreis für eine ‘Menge’ (in Englisch: ‘Set’) steht. Eine Menge kann alles beschreiben, das in einem beliebigen Kontext wahr oder falsch sein kann, sei dies eine Idee, eine Zahl, ein Gegenstand usw. Wir verwenden als praktisches Beispiel zwei Menschen A und B, der eine – A – gibt z.B. ein Signal (1) oder gibt kein Signal (0) der andere, Mensch ‘B’, tut dasselbe.

Wahr
Falsch

Stellen wir uns dafür etwas Praktisches vor, so seien A und B (die Signalgeber) zwei Angeklagte, die einen Richter (die Logik) von der eigenen Unschuld überzeugen müssen. ‘A’ kann für sich selber sprechen und z.B. sagen: ich habe nur Gutes (“1”) getan! und dies kann sowohl Lüge wie auch Wahrheit sein. A kann sich jedoch auch selbst belasten, aus welchen Gründen auch immer, und sagen: ich habe Schreckliches (“0”) angerichtet! und auch dies kann so wahr wie auch falsch sein. B kann genau diesselben Dinge sagen, und genauso die Wahrheit sagen, oder aber lügen. O ist für uns also nicht ‘kein Signal’ wie es in der Technik der Fall ist, sondern signalisiert in unserem praktischen Beispiel den verschiedenen Richtern die Behauptung von ‘Unschuld’.

A ist der linke oder der erste Kreis, B ist der rechte oder der zweite Kreis, auch dort wo sich die beiden Kreise in einem Bild überlagern. A und B sind die Buchstaben die auch in der Logik für diese Schemata verwendet werden. Im Englischen wird gerne P für A verwendet, während für unser B von den Anglikanern gerne der Buchstabe Q verwendet wird. Wir verwenden hier nur A und B.

Unser Ziel ist es, zu untersuchen, wie die beiden unterschiedlichen Gedanken 1 und 0 zueinander in Beziehung stehen können. Später werden wir sehen, dass sich komplexe Wahrheitsbeziehungen aus den nur zwei (!) verschiedenen Aussagen durch die zwei ‘Angeklagten’ ergeben.

Unsere Begriffe kommen hierbei nicht aus der Mengenlehre, die auch dieses rot-weisse ‘Venn Diagramm’ verwendet, sondern aus der Logik, denn die Mengenlehre arbeitet mit einer etwas anderen Art von Aussagen, und anderen Begriffen mit anderen Regeln, als es die Logik tut, und wir beschäftigen uns hier allein mit der Logik. Die Bilder rechts stellen logische Verknüpfungen dar, sie zu verstehen ist aber nicht notwendig zum Verstehen des Artikels. Ich habe sie für jene Leser beigefügt, die sich vielleicht noch etwas weiter für das Thema interessieren. x0 ist hier A, x1 ist hier B. A gibt das Eingangssignal 1 oder 0 in die Logik, B gibt das gleichsam das Eingangssignal 1 oder 0 in die Logik. Je nachdem, was in die Logik eingegeben wird, und je nachdem welche Logik es ist, kommt aus der Logik ein Signal ‘1’ (wahr) oder ein Signal ‘0’ (falsch) heraus. Besonders die rot-orange-grün-blaue, vertikale Tabelle kann hier sehr zum Verständnis beitragen.

(Anmerkung zu Quelle und Darstellung (für die Interessierten): Der Artikel ist leider etwas länger geworden als ursprünglich beabsichtigt, dafür findet sich damit ein angenehmer Einstieg in das Thema. Alle Bilder sind aus der deutschen wie auch der englischen Wikipedia entnommen und vom SVG- zum PNG- oder JPG-Format umgewandelt. Die quadratischen Wahrheitstabellen des Folgenden stimmen nicht mit der englischen Wikipedia überein, da diese für die Horizontale den Buchstaben P, und für die Vertik.ale Q verwendeten, während ich für die Vertikale A, und für die Horizontale B verwendete, um im allein vertikalen Schema daneben von links nach rechts von A nach B zu gehen. So wie es hier aufgeführt ist, passen die Dinge zueinander, und die Schemata stehen nirgendwo im Widerspruch. Nun zum eigentlichen Inhalt.)

A sagt nun, dass A gut sei. Wir haben dabei einen Richter (eine Logik) mit dem Namen ‘Proposition A’. Proposition steht für ‘Vorschlag’. Unser Richter, die Logik ‘Proposition A’, akzeptiert jedes gute Wort von A über sich selbst als wahr.

3. Proposition A

Proposition A
Identität A

Auf der anderen Seite sagt B zu einem anderen Richter, ‘Proposition B’, dass B selber ein toller Kerl sei, und da unser Richter in diesem Falle alles glaubt, was B an Gutem über sich selber sagt, haben wir dadurch die ‘Proposition B’ als die vierte Logik. Was A an Gutem über sich erzählt, wird von ‘Proposition B’ abgelehnt, ausser B sagt gleichzeitig Gutes über sich.

4. Proposition B

Proposition B
Identität B

(Anmerkung 2 (für das Leseverständnis nicht relevant): DNF steht in den Bildern rechts für ‘disjunktive Normalformen’, KNF für ‘konjunktive Normalformen’. Wer sich weiter für das Thema interessiert, kann sich mit diesen Begriffe auf die Suche nach Erläuterungen machen.)

Hier noch einmal die jeweiligen Propositionen (Vorschläge), wenn A und B gleichzeitig auftreten, dargestellt.

Proposition A
Proposition B

A sagte vorhin, dass A selber gut (1) sei, nun denkt der etwas vorurteilsbehaftete Richter aber, dass A böse (0) sei – somit haben wir eine ‘Negation A’, eine ‘Widerlegung A’. Die Logik änderte ihre Meinung über A. Nur wenn A von sich sagt, dass er böse (0) sei, glaubt dieser der Richter, dass Wahrheit (1) gesprochen wurde. Von B meint dieser seltsame Richter, dass jener tendentiell lüge.

B ist mit sich auch nicht mehr so einverstanden wie vorher noch, so sagt B gleich darauf hin zu einem anderen Richter mit dem Namen ‘Negation B’, dass B selber ebenso böse (0) sei – somit haben wir auf der anderen Seite eine ‘Negation B’. Dieser Richter interessiert sich nicht sonderlich für A, und er hat sein schlechtes Urteil über B bereits gefällt. Unsere Richter haben alle vielerlei Vorurteile.

Beide Angeklagten wenden in der Hoffnung auf eine Strafminderung beim jeweiligen Richter die jeweils notwendigen Beweise gegen sich selber auf, und so scheint für uns die Situation im Widerspruche wie folgt auszusehen:

5. Negation B

Negation B
NOT B

6. Negation A

Negation A
NOT A

Der Richter ‘Konjunktion’, die siebte Logik, glaubt A und B nur dort, wo beide zusammen Gutes über sich selbst sagen. Dieser Richter ist sehr einseitig darin, dass er nur kollektive Prahlerei als mögliche Wahrheit einstufen will. In der Technik nennt sich das die einfache Serieschaltung (Wahrheitsbedingung ‘Und’ AND):

7. Konjunktion

Konjunktion
AND

Nun haben wir den gutmütigsten Richter von allen, namens ‘Disjunktion’. Er glaubt an das Gute im Menschen. Es gibt für ihn zwar die Lüge, aber nur dort wo jemand meint, dass er schlecht sei, und eine solche wird für ihn stets vom prahlerischen Argument übertönt. Sobald irgendeine Prahlerei daherkommt, glaubt er an Wahrheit. Falschheit haben wir in den Augen dieses Richters erst, wenn sich wirklich beide gleichzeitig selbst belasten wollen. Sind diese vier Bedingungen der vorhanden, so haben wir eine ‘Disjunktion’. In der Technik ist das übrigens die hundsgewöhnliche Parallelschaltung (Wahrheitsbedingung ‘Oder’ OR):

8. Disjunktion

Disjunktion
OR

Nun haben wir einen Richter, der allein aus einer Meinungsverschiedenheit heraus eine positive Aussage akzeptiert. Nur wenn einer allein stolz zu sich stehen kann, während der andere um Vergebung für die Sünden fleht, meint dieser Richter, dass etwas wahr sein kann. Dieser Richter mag den Kontrast (Wahrheitsbedingung ‘Exklusiv Oder’ XOR).

9. Exklusive Disjunktion

Exklusive Disjunktion
XOR

Nun haben wir den Hexenverbrenner unter den Richtern. Wahr kann diesem nur sein, was sich selbst belastet. Wir nennen dies die ‘alternative Negation’. In der Aussagenlogik ist dies bekannt als der ‘scheffersche Strich’. Hier gilt: A und B widersprechen sich, auf Wahrheit lässt sich hier erst schliessen, wenn entweder A oder B für schuldig plädieren, oder beide sich zusammen als schuldig erklären. Wir schliessen hier aus dem Vorhandensein von Bosheit auf die Wahrheit (Wahrheitsbedingung ‘Nicht Und’ NAND):

10. Alternative Negation

Alternative Negation
NAND

Eine extremere Darstellung des Ausschlussverfahrens ist die ‘konjunktive Negation’, das ‘Weder-Noch’. Hier haben wir einen derart strengen Richter, wo selbst obiger Hexenverbrenner baff ist. Dem Richter ‘konjunktive Negation’ kann Wahrheit erst vorhanden sein, wenn beide Angeklagten gleichzeitig für schuldig plädieren. Wahrheit in den Augen dieses Richters also solange unmöglich, als noch eine einzige Proposition von sowohl A oder B vorhanden ist. Dieser Richter will nur Schuld sehen (Wahrheitsbedingung ‘Nicht Oder’ NOR):

11. Konjunktive Negation

Konjunktive Negation
NOR

Ein Umkehrung von der exklusiven Disjunktion (die Logik die den Kontrast aus Prahlerei und Flehen mag) ist das Bikonditional. Hier tritt das Wahre auf, sobald A und B das Gleiche tun, ob sie nun eine Proposition oder eine Negation versuchen. Dieser Richter mag und glaubt nur Teamwork, egal was das Team bezweckt (Wahrheitsbedingung ‘Nicht exklusiv Oder’ NXOR):

12. Bikonditional

Bikonditional
NXOR

(Ich verstehe nicht, warum die Wahrheitstabelle der Äquivalenz/des Bikonditional als Umkehrung von NOR mit 0001 durch XNOR mit 1001 dargestellt werden kann. Die Umkehrung von NOR mit 0001 ist m.M.n. allein AND mit 1000.)

Und hier haben wir einen Richter, der vom Charisma von A völlig überwältigt ist, allerdings will er daneben nichts von B hören. Wenn B den Mund öffnet, ärgert das den Richter so sehr, dass er auch gleich in A Verlogenheit sieht. Es nennt sich dies die ‘materiale Nichtimplikation’.

13. Materiale Nichtimplikation

Materiale Nichtimplikation
Inhibition: Präsektion

Schlecht sieht es für A allerdings bei der ‘materialen Implikation’ aus. Hier ist alles wahr, solange A nicht alleine eine Proposition macht. As Ziel ist hier für A, auf keinen Fall aufzufallen.

14. Materiale Implikation

Materiale Implikation
Subjunktion: Replikation

Das gleiche Spielchen können wir nun mit B spielen. Dieser Richter ist am leichtgläubigsten, wenn B alleine spricht, aber er wird äusserst misstrauisch, wenn A zu sprechen beginnt.

15. Umgekehrte Nichtimplikation

Umgekehrte Nichtimplikation
Inhibition: Postsektion

In der umgekehrten Implikation wird B sehr nervös, wenn er alleine vor dem Richter sprechen muss. Dieser Richter findet Bs Nervosität äusserst suspekt.

16. Umgekehrte Implikation

Umgekehrte Implikation
Subjunktion: Implikation

Schluss

Von der Tautologie ganz zu Beginn, wo alles wahr ist, egal was von A oder von B vorgeschlagen wird, über die Propositionen, wo Wahrheit mit jedem Vorschlag eines bestimmten Eingang (z.B. A) auftritt, über die Konjunktion und die Disjunktion bis schliesslich hierher, zur ‘umgekehrten Implikation’, über all diese Logiken haben wir, wie zu Beginn behauptet, 16 Möglichkeiten an Ausgängen: 2 [Eingänge] ^ 4 [Individuelle Zustände: A Eins, A Null, B Eins, B Null] = 16 [mögliche Kombinationen an Ausgängen]. Wir haben nun alle 16 angeschaut.

Ich bezweifle, dass allein durch das Durchlesen eines solchen Artikel solgleich etwas Substanzielles bei den Lesern verbleiben wird, und so ist es auch nicht die Absicht, damit solches zu erreichen. Es genügt, wenn ein Artikel wie dieser 1) weiterhin existiert, um diesen einmal im Falle der Notwendigkeit aufrufen zu können, um nachzuschauen, wie sich die Begriffe in solcher Logik nennen oder verhalten, oder wenn sich 2) dadurch ein Interesse an Logik bilden kann.

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