Mathematizismus, Diastegraphometrie und die Uhr 2

Im letzten Artikel haben wir die duodezimale Uhr eingeführt, oder die Dutzeruhr, wir haben das kartesische Koordinatensystem angeschaut, und untersucht, was Pi genau bedeutet, wie ‘gross’ es ist.

Nun gehen wir einen Schritt weiter, und schauen uns den Sinus und den Kosinus an. Sinus kommt aus dem Lateinischen, und bedeutet Bogen, Krümmung. Kosinus ist der Gegenwinkel zum Sinus, der ‘Komplementärwinkel’, der Komplementärsinus.

Hat man ein rechtwinkliges Dreieck, so hat man drei Winkel innen drinnen. Innerhalb vom Dreieck finden sich, wenn man die Grösse der Winkel zusammen zählt, 180° dms, oder in unseren Winkelminuten ausgedrückt: 30°ddms. Von einem Winkel wissen wir, dass er 90°dms beträgt, die anderen beiden zählen zusammen demnach ebenso 90°dms. Den 90°-dms-Winkel nennen wir ‘Gamma’ (γ), den Winkel beim Mittelpunkt ‘Theta’ (θ) oder ‘Alpha’, und den Winkel aussen, den Kreis berührend, ‘Beta’. Der einzige Winkel den wir hier gebrauchen, ist ‘Theta’, denn Gamma ist immer klar (immer 90°dms), und der Winkel ‘Beta’ ist stets ‘Gamma’ minus ‘Theta’.

Um die Rechnungen auf normalen Taschenrechnern überprüfen zu können, verwenden wir hier weiter das normale Dezimalsystem, mit den 360°dms für einen ganzen Kreis. Für die Hypothenuse nehmen wir stets die Grösse “eins”, den Radius des Einheitskreises. So können wir die anderen Längen einfach durch die Hypothenuse teilen, und wir haben entweder den Sinus oder den Kosinus.

Die Formel für den Kosinus ist Folgende: cos(θ)=Ankathete/Hypothenuse. Im unten aufgeführten Fall kennen wir die Ankathete nicht, aber wir kennen den Kosinus und die Hypothenuse. Daraus lässt sich die Ankathete sehr einfach berechnen, nämlich indem man umformt: Ankathete=cos(θ)*Hypothenuse, oder: Ankathete=cos(60°)*1=0.5*1. Für die Ankathete haben wir damit die Länge 0.5.

Die Formel für den Sinus ist Folgende: sin(θ)=Gegenkathete/Hypothenuse. Hier kommt es zur gleichen Umformung und Überlegung: Gegenkathete=0.866*1=0.866 für die Länge der Gegenkathte. Mit dem Kreis ist die Trigonometrie so ungeheuerlich einfach zu erklären, es fragt sich, warum man stattdessen mit dem Dreieck beginnt. Man finde einmal eine solch kurze, einfache Erklärung der trigonometrischen Grundlagen.

Wenn wir mit dem Dreieck arbeiten, so macht es Sinn, Pi zu verwenden, da wir mit 180°dms als Total der Innenwinkel arbeiten. Wenn wir aber mit dem Kreis arbeiten, so macht es mehr Sinn, ‘Tau’ (τ) zu gebrauchen, weil wir mit dem Kreis 360°dms haben. So ist es einfacher, ein ‘Tau’ für 360°dms zu haben, als ‘2π’. In Zahlen und Zeichen ausgedrückt heisst das: 360°dms=2π=τ. In unserem durch zwei Dutzend geteilten Kreis sieht die Unterteilung nach Tau dann so aus:

Die Uhr, die sich gegenwärtig auf dem Startbildschirm meines Smartphones befindet, ist ein Kompromiss, sieht aber sehr übersichtlich aus. Sie hat nur einen Stundenzeiger, Mitternacht ist ganz unten, Mittag ganz oben. Rechts findet sich weiter der Tag des Monats, und unten die genaue digitale Angabe.

Die App ist auf dem Play Store zu finden.

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