Das Wesen von 1 und 0

Der Mathematizismus ist eine Weltanschauung, dies allein berechtigt ihn schon zu Aussagen über die Welt. Allerdings hat er, wie jede andere WA auch, Hürden, die er nicht überwinden kann. Im Artikel ‘Die Grenze der Logik‘ wird dies für den logistischen Mathematizismus näher ausgeführt.

Die Eins

Mit dem Titel dieses Artikels ist ‘eins’ stellvertretend für einen abgeschlossenen Zustand (ein Absolut) gemeint, und ‘null’ für das Nichts; für ein Nichtvorhandensein (aber nicht von etwas, denn es ist nichts). Es geht nun darum zu argumentieren, dass beide Zustände im Wirklichen nicht anzutreffen sind (für ‘0’ ist das im ersten Moment vermutlich naheliegender). Die Frage, ob dies dem Mathematizismus etwas an Existenzberechtigung nimmt, sollte dennoch verneint werden, da solcherlei Gedankengänge zu Ende gedacht am Schluss keine einzige WA übrig liessen. Aber es ist bestimmt erlaubt, zu sagen, dass seine Berechtigung zum Beschreiben des Wirklichen, durchaus ihre Grenze hat.

Im Artikel zu den Grenzen der Logik wurde der Baum als ein Beispiel genommen, für den man von der Natur aus keine ‘absolute’ Form finden wird. Man kann natürlich irgendeinen geeigneten Baum auswählen, und als den absoluten Baum definieren, und sagen, “das ist unsere ‘1’ aller Bäume, von diesem aus wollen wir die anderen Bäume bestimmen.” Alles Definieren geschieht auf solche Weise.

Man hat z.B. den Meter als eine bestimmte Länge definiert, ohne ihn in der Natur gefunden zu haben, und man hat gleichsam auch alle anderen Masse so definiert, dass sie den Menschen günstig waren, und von diesen alle anderen Masse abgeleitet und verglichen. Bei den imperialen Massen geht man von Grössen am Menschen aus, aber auch dies ist nur ungefähr, weil jeder Mensch unterschiedlich geformt ist. Später kam zum Metermass eine Längeneinheit dazu, die man aus der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum während einem kurzen Zeitraum ableitete, und heute, zumindest dort, wo die Physik extra exakt sein will, verwendet man manchmal stattdessen dieses etwas universellere letzte Mass. Jedoch gibt es in der Hypothese der Lichtgeschwindigkeitsmessung einige Probleme, da die Messung nur indirekt möglich ist, und so ist auch dieses Mass nicht mit Sicherheit etwas, das man tatsächlich von der Natur ablesen kann; man kann nur durch eine Anzahl Annahmen darauf schliessen.

Im Vergleich zu jenem erwählten Baum also, sind die anderen Bäume in bestimmter Weise unter der 1 (zu blättrig, zu wenig blättrig usw). Was aber, wenn er nun die Blätter verliert, oder wenn er weiter wächst oder abstirbt, dann ist der absoute Baum sogleich kein absoluter mehr. Und auch zu bestimmen, zu sagen: “dieser ist die 1” hat nichts damit zu tun, was die Natur einem gibt, sondern mit der menschlichen Entscheidung für einen Standard. Selbst wenn einen Baum gäbe, der im gleichen Zustand verbleiben könnte, wie sollte die Natur jemals einen perfekten Baum hervorbringen können? Müsste der perfekte Baum nicht fast maschinenartig sein? Ein maschinenartiger Baum hat mit dem Baumsein nichts mehr zu tun, was zu einem Widerspruch führt. Solches Bestimmen ist somit notwendigerweise willkürlich.

An dieser Stelle sei Husserls Beitrag zu diesen Fragen erwähnt, der in seinem Werk ‘Philosophie der Arithmetik’ in folgender Weise argumentiert (Ges. Schriften, S. 85, Z. 8): “Es ist unmöglich, die Entstehung der Zahlbegriffe auf gleiche Weise zu erklären wie etwa diejenige der Begriffe Farbe, Gestalt usw., welche als positive Momente im primären Inhalt durch blosse Analyse desselben herausgehoben werden. Darum war nicht bloss Aristoteles im Irrtum, wenn er die Zahlen und die Eins zu den αισθητα κοινα (aistheta koina), zu den gemeinsamen Objekten aller Sinne, sondern auch Locke, wenn er die Eins zu den Begriffen rechnete, die zugleich auf dem Gebiete der Sensation und dem der Reflexion ihre Quelle haben. Die gezählten Inhalte können freilich physische so gut wie psychische sein, aber die Zahlbegriffe und die Eins gehören ausschliesslich dem Gebiete der Reflexion [und nicht den Phänomenen] an. Und demgemäss ist es auch von vornherein absurd, wenn Locke (wie so viele nach ihm) die vorgestellten Zahlen als “primäre Qaulitäten” betrachtet, als vollkommene Abbilder originaler Qualitäten, die in den Dingen selbst und unabhängig von unserem Geiste Bestand haben.”

Husserl scheint es einen Unterschied zu geben, zwischen der Wahrnehmung von Farbe, und der Zuweisung einer Zahl an dieser oder jenen Vielheit. Die Farbe ist wirklich da, und sie ist anders da, als die Zahl der Vielheit es ist. Auch wenn man Vielheit wahrnehmen kann, wie man Farbe wahrnehmen kann, mit der Zahl verhält es sich anders. Zahl schöpft sich aus dem Verstand, nicht aus der Natur.

Es ist dasselbe Argument, das auch um die Frage nach dem Geist oder der Seele kreist: da ist etwas, das man normalerweise nicht (direkt) wahrnehmen kann – darf man also davon sprechen, dass es existiert? Aus manchen WA ja, aus anderen nicht. Das bedeutet nicht, dass für eine WA wie den Spiritualismus alles eine Existenz hat, und für andere WA – wie den Materialismus – nur dasjenige, das physisch wahrnehmbar ist (wobei man im Materialismus selbst den physischen Sinnen misstrauen könnte). Für den Spiritualismus hat die Materie nämlich keine Existenz, sie ist ihm ‘Maya’ (Täuschung). So kann jede WA für und gegen Existierendes argumentieren. Was sich jedoch in der Nähe des Realismus befindet (z.B. der Phänomenalismus), hat in der Welt in der wir leben ein Vorrecht, Aussagen über das Wirkliche zu machen. So hat Husserl recht, wenn er sagt, dass Zahlen eine andere Qualität haben, als sinnlich wahrnehmbare Dinge (und somit nicht zu den ‘gemeinsamen Objekten’ gezählt werden dürfen).

Die Null

Über die Null ist es schwierig überhaupt etwas zu sagen, weil man über etwas spricht, das das Nichts beschreibt. Das Wort Nichts ist schon ein Oxymoron (zusammengesetzter Gegensatz), da das Wort ‘Nichts’ für sich gesehen ist, aber etwas beschreibt, das nicht ist. Ein Wort sollte jedoch der Natur dessen folgen, das es beschreibt, wie es z.B. das Oxymoron tut (es ist zusammengesetzt aus ‘scharfsinnig’ und ‘dumm’, was das Wort ‘Oxymoron’ zu einem Oxymoron macht, ähnlich wird z.B. die Angst vor langen Wörtern etwas schadenfreudig die ‘Hippopotomonstrosesquippedaliophobie’ genannt). Entsprechend sollte es kein Wort für dasjenige, das nicht ist, geben. Die Null hat das gleiche Problem, es sollte sie nicht geben. Etwas wie die Gleichung ‘3-3=0’ sollte nicht möglich sein. Nur weil sich zwei Dinge aufheben, hat man dazwischen nicht ein ‘Nichts’ vorhanden, sondern man hat perfekte Äquivalenz (Entsprechung) der beiden Dreien (3en). Anstelle dem Gleichzeichen mit der Null folgend, sollte ein Zeichen für Äquvalenz eine Aufhebung signalisieren, weil die Gleichung in obiger Darstellung leider besagt, dass auf der rechten Seite nun eine Null vorhanden sei. Ein Nichts kann jedoch nicht vorhanden sein. Mit der Gleichung im Beispiel sollte jedoch gesagt werden wollen, dass nach einem solchen Äquivalent kein Rest mehr vorhanden ist, jedoch sagt sie dieserart: Die Dreien haben Äquivalenz, und dies ergibt das Vorhandensein von Nichts. Das ist das Problem dieser Notation (Darstellungsart) – die dafür andere grosse Vorteile hat (denn sie bringt dort Vereinfachungen, wo es komplexer wird).

Man sollte Null nicht darstellen können, da es das ‘nicht Seiende’ offensichtlich nicht gibt. Es ist zwar leichter, Mathematik zu betreiben, wenn man ein Nichtvorhandensein darstellen kann, jedoch leidet unter einem solchen Kompromiss die Wahrheit des Inhaltes. Wahrheit muss weder schön noch offen sichtbar sein, aber sie kann nicht durch Unwahres dargestellt werden. Bevor die Null als Symbol dargestellt wurde, liess man, vor langer Zeit, in den geschriebenen Zahlenfolgen eine Lücke, entsprechend etwa dem Leerzeichen in der westlichen Wortschrift. Dies entspricht eher der Natur der Sache, aber auch eine Lücke ist noch etwas Falsches, weil das Nichts auch nicht eine Lücke ist. Nur missversteht man eine Lücke weniger als eine Sache, als man dies beim Zeichen 0 tut. Das Zeichen für null ist eigentlich ein Trick, der die Dinge vereinfacht, dies jedoch nur auf Kosten einer wahrheitsgetreuen Darstellung erlaubt.

Es gibt eigentlich auch keinen Grund, warum bei dem zusätzlichen Stellenwert, z.B. von 99 auf 100, die Null verwendet werden muss, oder warum dort, wo die Basis eines Zahlensystems eines ihrer Vielfachen erreicht, z.B. beim Übergang von 59 auf 60, auch wieder die Null auftreten muss. Es gibt keinen Grund, warum die Schritte eines Zahlensystems durch ‘nichts’ repräsentiert werden müssen. Ein Symbol, das ebenjene Abstufungen darstellt, das aber mit ‘Nichts’ nichts zu tun hat, ist genauso möglich.

Der gegenwärtig auf Wikipedia erreichte Konsens zur Null ist Folgender: “Da Kardinalzahlen (Anzahl der Elemente einer Menge) mit speziellen Ordinalzahlen identifiziert werden, und die Null gerade die kleinste Kardinalzahl ist, wird die Null – im Gegensatz zum gängigen Sprachgebrauch – auch als erste Ordinalzahl gewählt. Als endliche Kardinal- und Ordinalzahl wird sie je nach Definition auch zu den natürlichen Zahlen gezählt. Die Null ist das neutrale Element bezüglich der Addition (anschaulich gesprochen die Differenz zweier gleicher Zahlen) in vielen Körpern, wie etwa den rationalen Zahlen, reellen Zahlen und komplexen Zahlen, und eine gängige Bezeichnung für ein neutrales Element in vielen algebraischen Strukturen, selbst wenn andere Elemente nicht mit gängigen Zahlen identifiziert werden. Als ganze Zahl ist die Null Nachfolgerin der Minus-Eins und Vorgängerin der Eins. Auf einer Zahlengeraden trennt der Nullpunkt die positiven von den negativen Zahlen. Die Null ist die einzige reelle Zahl, die weder positiv noch negativ ist. Die Zahl Null ist gerade.”

All dies behauptet, dass die Null etwas ist, das Eigenschaften, Vergleichbarkeit usw. hat. Dieser Fehler entstand vermutlich, weil man den Trick zur Vereinfachung nicht als Trick erkennt, und die Null deswegen nun als etwas wie andere Zahlen Seiendes versteht. Von da aus kommt man dann in weitere Widersprüche.

Husserl zu Eins und Null

Husserl sagt nichts über die Inexistenz der Null, aber er versucht, ihre Rolle in der Arithmetik zu ergründen.

Gottlob Frege (“Die Grundlagen der Arithmetik”) widersprechend, schreibt Husserl (Ges. Schriften, Philosophie der Arithmetik, S.132, Z.34): “Diese Angehörigkeit der Null und Eins zu der Reihe der Zahlen in Beziehung auf die elementaren Relationen und Operationen macht es verständlich, warum bei der rechnerischen Lösung von Aufgaben (sobald für die eigentlichen Zahlen die Rechnungsregeln gefunden waren) nicht bloss irgendeine Zahl, sondern auch die Null oder Eins als Operationsglied bzw. als Resultat auftreten konnte; dieser Umstand aber musste zur Erweiterung des Zahlengebietes und der damit verbundenen Änderung des Zahlbegriffes führen, ein arithmetischer Fortschritt, der sich natürlich nicht in Form rein logischer Überlegungen und Defnitionen zu vollziehen brauchte, sondern sich kundtat in der Einführung der Zeichen 0 und 1 und deren konsequenter Verwendung in den Rechnungen. Bedenkt man nun, dass ein einförmiges, geregeltes Operieren nur dann möglich ist, wenn jedes denkbare Resultat einer Operation formell in gleicher Weise behandelt werden kann, dann wird es klar, wie diese Erweiterung des Rechengebietes wirklich einen bedeutsamen Schritt in der Richtung auf eine Arithmetik bilden musste. Im übrigen vermag natürlich auch die Arithmetik den wesentlichen begrifflichen Unterschied der neu adjungierten [wohl ein Begriff aus der Matrizenmathematik, auch wenn sich mir nicht sogleich erschliesst, wie ein solcher hier in den Kontext passt] Zahlen gegenüber den ursprünglichen nicht völlig auszulöschen. Ihr Grenzcharakter zeigt sich deutlich in den Ausnahmen, welche sie bei den meisten Rechnungsarten mit sich führen: Die Addition durch Null erweitert nicht, die Subtraktion vermindert nicht, die Division fürht zu einem sinnlosen Ergebnis, desgleichen die Potenzierung usf. Die Multiplikation mit Eins vervielfältigt nicht, die Division teilt nicht usf. Das sind Besonderheiten augenscheinlich ganz anderer Art als diejenigen, welche speziellen Anzahlen zukommen; denn sie durchbrechen die Allgemeinheit von Sätzen, die das gesamte sonstige Zahlgebiet (eben das der wirklichen Zahlen) beherrschen. [Absatz] So mag man also immerhin und aus guten Gründen von Eins und Null als Zahlen sprechen. Man mag auch eine jede Zahl, Null und Eins ausgenommen, als Summe gleicher Zahlen Eins ansehen, nur muss der tatsächlich vorhandene begriffliche Unterschied nicht ausser acht gelassen werden. Die Einheit des Begriffes ist für die wirklichen Zahlen, d.h. jene, die Vielheitsdeterminationen sind, eine innere. Sie bilden eine logische Gattung im engeren Sinne. Die Einheit des Zahlbegriffs nach seiner Erweiterung ist hingegen eine äussere, durch gewisse Relationen gestiftete. Zahl ist danach jedes mögliche Resultat einer Rechnung, jedes denkbare Glied der Zahlenreihe, jede mögliche Antwort auf die Frage “wieviel”. Man sieht jeder dieser Fassungen an, dass der Zahlbegriff in der engeren Bedeutung vorausgesetzt ist.”