Der Dutzerrechner

Das mathematische Dutzersystem ist eine Notation ohne Null, und einzelnen Symbolen anstelle von 10 (Ɣ), 11 (Ӿ) und 12 (⧖). Um eine Zahl darzustellen, nimmt man die Taste Zwölf in die Mitte, und führt um diese herum bestimmte Operationen aus. “dms” steht für Dezimalsystem, “ddms” für Duodezimalsystem (Dutzersystem). Eine Zahl oder Zahlenfolge rechts vom Dutzend addiert sich zu diesem (⧖+4=⧖4 (duvierer dms 12+4=16)), links davon multipliziert sie es (4x⧖=4⧖ (vierdutzer, 4×12, die alte “Vierzig”, dms 48)), oben rechts “potexiert” (von Potenz-Exponent) sie es (⧖⁴=⧖⁴ (tessader von ‘tesserakt’; gäbe es in dieser Notation eine Null, so hätten wir ⧖’0000, dms 20’736)), oben links “radexiert” (von Radikal-Exponent) sie es (⁴⧖=⁴√⧖= ddms 3.569 = dms 3.464), eine Zahl oder Folge über der ⧖ macht das Dutzend ⧖ zum Nenner, ist eine darunter, dann zum Zähler, unten links wird die andere Zahl zum ⧖ zur Logarithmus-Basis, unten rechts zum Logarithmus-Exponenten des ⧖.

Dann findet sich eine Umschalttaste, und alle acht, das Dutzend umgebenden Positionen, werden zu Logik-Operanden: NOT (Nicht), AND (Und), NAND (Nichtund), OR (Oder), NOR (Nichtoder), XOR (Exklusiv Oder), XNAND (Exklusiv Nichtoder), XAND (Exklusiv Und), XNAND (Exklusiv Nichtund); dazu MUX (Multiplexer, als M) und DEMUX (Demultiplexer oder Nichtmultiplexer als NM).

Dargestellt z.B. als N (unten rechts), AD (oben rechts, OR (oben links), X (unten links), M (unten), () (oben), + (rechts) und schliesslich – (links). Eine andere Umschalttaste verwandelt die Operanden in sin, cos, tan, cot, usw. Unzählige Operationssysteme können so um die ⧖ herum positioniert werden. Wenn wir im binären System kein Signal haben, so wird dies durch eine Nichtzwölf signalisiert: ☒

Andere mögliche Nichtformen (alles unter “Pattern Syntax 1750”): ◻, ⍌, ⍓, ⍁, ⍂, ⍃, ⍄, ⎅, ⏍, ⍔, ⍍, ▣, ◰, ◱, ◲, ◳, ⊞, ⊟, ⊠, ⊡, ⌺, ⌻, ⌼, ⍰, ⧉, usw… ⦻, ⦵, ⦰, ⦶, ⦸, ◎, ◉, ◐, ◑, ◒, ◓, ◔, ◕, usw… Keine davon ist ein “Nichts”, alle sind ein “Nicht-etwas”.

Andere mögliche Formen des Dutzend sind: ⨝, ⩙, ⪤, ⪥, ⟕, ⟖, ⟗, ⧑, ⧒, ⧓, ⧔, ⧕, ⋋ ⋌, ◸, ◹, ◺, ◿, ⧗, ▲, △, ▼, ▽, ∧, ∨, ⊼, ⊽, ⩡, ⩟, ⩞, ⩠, ⩢, ⩣, ⤧, ⤨, ⤩, ⤪, ⤫, ⤬, ⤭, ⤮, ⤯, ⤰, ⤱, ⤲, usw…

Um das Dutzend herum finden sich also all diese Operanden, und oben, rechts und unten um diese finden sich die natürlichen Zahlen 1 bis Ӿ (eins bis elf, da es in unserem Zahlensystem keine Null gibt, etwas genauer: positive ganze Zahlen). Die Tasten links und rechts vom Dutzend sind beide Minus, anstatt x und +, wenn sie denn jeweils doppelt getippt werden. Eine weitere Zeile links könnte definierbare Einheiten hinzufügen, wie z.B. A, B, C, X, Y, Z.

Durch Umschalttasten können, wie bei jedem anderen Rechner auch, beliebig viele weitere Operationen oder Definitionen hinzugefügt werden.

Duodezimalsystem

Was wäre ein besseres Zahlensystem als das Zehnersystem? Das Zwölfersystem.

Die Zwölf ist eine sehr besondere Zahl. Würde man die Funktion der 10 durch die Grösse 12 ersetzen, so hätte man ein wesentlich nützlicheres, einfacheres Zahlensystem. Damit ist gemeint, dass die Grösse 12 in einem solchen Zahlensystem entweder die erste Zahl aus zwei Ziffern, und folglich als 1 und 0 zusammengesetzt ist, oder gar aus einem neuen Symbol besteht. In einem solchen System bräuchte man zwei neue Zeichen, um die 10 und die 11 darzustellen, welche nun aus einer einzelnen Ziffer bestehen, nicht mehr aus zwei zusammen gesetzten. “1-10” spricht sich damit aus als “eins bis eindutzend”.

Die neuen Ziffern “Ɣ” (eine römische 10 welche unten verbunden ist, um keine Verwechslung mit dem Buchstaben ‘X’ zu haben) und “Ӿ” (eine römische 10, welcher eine weitere 1 angefügt wurde, horizontal in der Mitte) übernehmen die Funktion der alten 10 und 11. Ɣ entspricht der Grösse 10, und Ӿ der Grösse 11. So kann das Dutzend, also die neue 10, nun zur ganzen Zahl durch sich selbst, durch 1, durch 2, durch 4 und durch 6 geteilt werden, aber nicht mehr durch die 5. Dadurch ist es viel einfacher, zu einem tiefen Nenner zu kommen, aber auch Brüche generell zu vermeiden. Es finden sich noch endlos viele andere Vorteile, aber nur zwei Nachteile: der Nachteil ist, dass sich alle umgewöhnen müssten, und dass in der Technik sehr viele Standards angepasst zu werden hätten. Das Zehnersystem nennt sich das Dezimalsystem (‘dms’), das Zwölfersystem ist das sogenannte Duodezimalsystem (‘ddms’). ‘ddms 50’ ist, um ein Beispiel zu geben, in der Anzahl demnach gleich ‘dms 60’.

Dort wo eine Ziffer dazu kommt, im Dezimalsystem nach der 9 die 10, nach der 99 die 100 usw, wird bewirkt, dass sich im Duodezimalsystem alles etwas verschiebt. Nennen wir den Bereich, wo Ziffern ihre Anzahl teilen, im Duodezimalsystem also von 1 bis Ӿ (dms 1 bis 11), von 10 bis ӾӾ (dms 12 bis 143), von 100 bis ӾӾӾ (dms 144 bis 1727) usw den ‘Ziffernbereich’. Innerhalb dieses Bereichs gibt es nun überall eine leichte Verschiebung. Als ein Beispiel: 100 (dms 144) kann nun durch 6 geteilt werden, ohne in einem Bruch zu enden, es ergibt 20 (dms 24).

Die Präzision innerhalb des Bereichs vergrössert sich durch die Zunahme an Einheiten, d.h. einzelnen Zahlen, und weil das Zahlensystem auch noch viel flexibler teilbar ist, vergrössert sich gleichzeitig auch die Einfachheit. Es gibt damit sehr viel mehr Möglichkeiten, Dinge zueinander passen zu lassen. Das Zehnersystem hingegen ist ein ewiger Kampf mit sich selbst, in dem man alles annähern muss, aber nichts wirklich zum anderen passt. Das Zehnersystem ist eine grässliche Mathematik.

Mit dem Duodezimalsystem geht alles auf, die Dinge fügen sich einfach ineinander, so dass man kaum noch was dazu rechnen muss. In Amerika braucht man gerne das ‘imperiale’ System, um Grössen anzugeben, sie brauchen es für Gewichte, für Längen, aber auch für Temperaturen haben sie eine andere Skala, die sich aus dem Zwölfersystem zusammen setzt. Das Problem ist, dass sie diese, eigentlich ungeheuer nützlichen Skalen, mit dem Zehnersystem verwenden müssen. Deswegen wehren sich viele Menschen in diesen Ländern gegen die imperialen Grössen, und wollen lieber die metrischen verwenden.

Es wäre zu wünschen, dass die ganze Welt das Zwölfersystem übernehmen würde, um alle Grössen im imperialen System auszudrücken. Man hätte augenblicklich viel mehr Wahrheit in den Dingen.

Auch das Zählen von Hand wird nicht schwieriger, weil die menschlichen Finger mit Ausnahme des Daumens aus drei beweglichen Teilen bestehen. Und weil man pro Hand vier solche Finger hat, hat man 12 Teile je Hand, an denen man abzählen kann. Und mit zwei Händen kann man so bis 24 zählen, indem die Daumen von Fingerglied zu Fingerglied gehen. Das Zwölfersystem hat im Einfachsten wie im Schwierigsten grosse Vorteile, oder macht im schlimmsten Fall keinen Unterschied. Es macht nirgendwo Probleme, wo es nicht auch eine bessere Lösung anzubieten hat.

Man kann auch die Zeit besser verstehen, rechnen und studieren, wenn man ein System wie das Duodezimalsystem hat. Folgendes ist das bekannte Kreisschema der WA, aber anstelle der einzelnen WA sind hier diese Zahlen im Duodezimalsystem aufgeführt. So hat man das Ziffernblatt einer Uhr folgendermassen:

Geht man noch einen Schritt weiter, und stellt alle 24 Studen eines Tages dar, so sieht das Ziffernblatt einer Uhr so aus:

Oben ist hier Mitternacht angezeigt, unten die Mittagsstunde, rechts der Morgen, links der Abend. Und wenn dann noch die Sommerzeit abgeschafft wird, so hat man die Mitternachtsstunde und die Mittagsstunde auch wirklich dann, wo die Sonne in der jeweiligen Mitte steht, und der Mensch findet sich in einem gewissen Einklang mit der Mathematik der äusseren Welt.

Die so verwendeten Ziffern haben die im Folgenden dargestellte Reihe. In Klammern ist das entsprechende Äquivalent im Zehnersystem angezeigt. Dazu kommt, dass die neuen Zeichen neu benamselt werden müssen, das ist auch in den Klammern angegeben. Die Begriffe dafür sind, wie hier auf dieser Webseite aufgeführt, einmalig, man findet das sonst nirgendwo derart ausgearbeitet. Die Zehn (hier nun Ɣ) kriegt einen neuen Namen, weil sich sonst klanglich die neue 22 (hier nun ‘1Ɣ’) kaum vom einfachen Dutzend unterscheiden lässt.

In der letzten Bearbeitung wurde weiter überall die Null entfernt. Nun ist das Dutzend ein einzelnes Zeichen, nicht mehr eine Eins und eine Null: ⧖. Das Dutzend hat nun acht Funktionen, welche die anderen Zahlen nicht in gleicher Weise haben. All dies ist eine Darstellungsart, welche die gewöhnliche Darstellung ergänzen kann, um mehr Spielraum mit der Zwölf zu haben.Allerdings werden viele gewohnte Schreibweisen das Dutzend nun beeinflussen, wodurch sich einige neue Regeln aufdrängen. Je nachdem auf welche Seite des Dutzends man eine Zahl hinschreibt (oben, unten, links, rechts, oder einer von vier Ecken, oben-rechts, oben-links, unten-links oder unten-rechts), verändert dies den Wert des Dutzends. Ist eine Zahl rechts vom ⧖ hat man Addition zum ⧖ (oder mit ‘-‘-Vorzeichen Subtraktion), ist eine Zahl links vom ⧖, hat man Multiplikation (Division wird durch den Bruch oben oder unten gemacht), unten ist Bruch mit ⧖ als Zähler, oben mit ⧖ als Nenner, oben rechts Potenzierung, oben links Logarithmus, unten links Wurzel, unten rechts Oplus (eins über [[eins über ⧖] plus [eins über n]…]). Möchte man mit anderen Zahlen operieren, so hat man sie, nach dieser Darstellung, alleine in eine Akkoladen-Klammer zu setzen, z.B. {6}² für 3⧖. Alles Rechnen und Zählen hat dadurch das Dutzend im Zentrum. Erst mit solcher Klammer haben gewöhnliche Zahlen die gleichen Rechte wie das ⧖. Weil die anderen Zahlen nicht die gleichen Rechte haben, kann man verschiedene Abkürzungen machen. Wenn keine Akkolade steht, können die Potenzen z.B. nebeneinander stehen, und sie addieren sich. Anstatt ⧖⁴⧖³⧖²⧖¹ für dutess-dukupp-duqua-dutzer, kann man die Potenzen addieren, und ⧖⁴³²¹ schreiben. Kommen mehrstellige Potenzen zur Potenzenaddition dazu, so muss man die einzelnen Zahlen mit Kommas voneinander abtrennen und beenden, weil ansonsten die Gefahr besteht, Additionen von Potenzen mit mehrstelligen Potenzen zu verwechseln. Möchte man die Potenzen multiplizieren, muss man halt einen Punkt dazwischen fügen, wie ⧖⁴•³, weil die hier gewöhnliche Multiplikationsoperation zur linken Seite des Terms steht, und dadurch nicht mehr erkenntlich wäre, welche Potenz links, und welche rechts steht. So sind längere Operanden in sich immer in Leserichtung, und bedürfen, abgesehen von der einstelligen Addition, Hilfszeichen, wie den Punkt oder das Minus. Möchte man sie potenzieren, so stellt man sie wieder in die gleiche Ecke, ⧖⁴³ usw.

Die Ordnung der Operationen hat sich mir noch nicht ganz erschlossen, wenn z.B. auf mehreren Seiten des ⧖ gleichzeitig Operationen stehen. Bis jetzt ist nach mir die Folge entsprechend der Lesart einer Zahl, so dass zuerst die Multiplikation, dann die Potenzierung und zuletzt Addition/Subtraktion kommt. Ich überlege mir aber, wie man die Folge vielleicht während jeder Rechnung abändern kann, um mehr Freiheiten und Möglichkeiten in der Darstellung zu haben. Beispielsweise könnte man bestimmte Ecken des ⧖ ausfüllen. Weiter kann man den Level der Sanduhr markieren, um die Richtung der Rechnung zu definieren (vom Ziel [wie viel fehlt noch] oder vom Beginn [wie viel wurde schon erreich] ausgehend, eine Waagrechte im oberen Dreieck geht vom Beginn aus, wobei ganz oben ganz am Beginn bedeutet, und weiter zu Mitte hin bedeutet eine Entfernung zum Beginn). Das Symbol ⧗, das ausgefüllte Dutzend, könnte z.B. eine bestimmte Umkehrung bedeuten.

  • _ (Nichts, d.h.: keine Zahl)
  • 1 (einer dms 1)

Die Eins definiert die erste vollzahlige Grenze nach der Zahlenlosigkeit “_”, sie beschreibt jedoch nicht direkt den Raum zwischen Nichts und sich selber, sondern nur die Grenze dieses Raumes (oder die Länge, Distanz usw) auf der Seite der Zahl, nicht auf der Seite, wo nichts vorhanden ist. Der Zwischenraum wird nur indirekt beschrieben. Die Zwei bezeichnet dann die Grenze des doppelten Raumes von dem der Eins, aber wiederum nicht (direkt) den Raum selber.

  • 2 (zwoer dms 2)
  • 3 (dreier dms 3)
  • 4 (vierer dms 4)
  • 5 (fynfer dms 5)
  • 6 (sechser dms 6)
  • 7 (sippner dms 7)
  • 8 (achter dms 8)
  • 9 (neuner dms 9)
  • Ɣ (decker dms 10)
  • Ӿ (elfer dms 11)
  • ⧖ (dutzer dms 12)
  • ⧖1 (dueiner oder eindueiner 1⧖1 dms 13)
  • ⧖2 (duzwoer dms 14)
  • ⧖3 (dudreier dms 15)
  • ⧖4 (duvierer dms 16)
  • ⧖5 (dufynfer dms 17)
  • ⧖6 (dusechser dms 18)
  • ⧖7 (dusippner dms 19)
  • ⧖8 (duachter dms 20)
  • ⧖9 (duneuner dms 21)
  • ⧖Ɣ (dudecker dms 22)
  • ⧖Ӿ (duelfer dms 23)
  • 2⧖ (zwodutzer dms 24)
  • 2⧖1 (zwodueiner dms 25)
  • 2⧖2 (zwoduzwoer dms 26)
  • 2⧖3 (zwodudreier dms 27)
  • 2⧖4 (zwoduvierer dms 28)
  • 2⧖5 (zwodufynfer dms 29)
  • 2⧖6 (zwodusechser dms 30)
  • 2⧖7 (zwodusippner dms 31)
  • 2⧖8 (zwoduachter dms 32)
  • 2⧖9 (zwoduneuner dms 33)
  • 2⧖Ɣ (zwodudecker dms 34)
  • 2⧖Ӿ (zwoduelfer dms 35)
  • 3⧖ (tredutzer dms 36)
  • 3⧖1 (tredueiner dms 37)
  • 3⧖2 (treduzwoer dms 38)
  • 3⧖3 (tredudreier dms 39)
  • 3⧖4 (treduvierer dms 40)
  • 3⧖5 (tredufynfer dms 41)
  • 3⧖6 (tredusechser dms 42)
  • 3⧖7 (tredusippner dms 43)
  • 3⧖8 (treduachter dms 44)
  • 3⧖9 (treduneuner dms 45)
  • 3⧖Ɣ (tredudecker dms 46)
  • 3⧖Ӿ (treduelfer dms 47)
  • 4⧖ (vierdutzer dms 48)
  • 4⧖1 (vierdueiner dms 49)
  • 5⧖ (fydutzer dms 60)
  • 5⧖1 (fydueiner dms 61)
  • 6⧖ (sedutzer dms 72)
  • 6⧖1 (sedueiner dms 73)
  • 7⧖ (sidutzer dms 84)
  • 7⧖1 (sippdueiner dms 85)
  • 8⧖ (adutzer dms 96)
  • 8⧖1 (adueiner dms 97)
  • 9⧖ (neudutzer dms 108)
  • 9⧖1 (neudueiner dms 109)
  • Ɣ⧖ (dedutzer dms 120)
  • Ɣ⧖1 (dedueiner dms 121)
  • Ӿ⧖ (eldutzer dms 132)
  • Ӿ⧖1 (eldueiner dms 133)
  • ⧖² (quader dms 144)
  • ⧖²1 (qua-einer dms 145)
  • ⧖²2 (qua-zwoer dms 146)
  • ⧖²⧖ (qua-dutzer dms 156)
  • ⧖²⧖1 (kürzer ⧖²¹1, qua-dueiner dms 157)
  • ⧖²2⧖ (kürzer ⧖²2¹, es ist hier nicht 2¹=2 sondern 2•⧖¹ weil in dieser Notation in der horizontale nach rechts die Operation Addition stattfindet, und die 2 eine spezielle Klammer bräuchte, um die Potenz auf sich beziehen zu können… qua-zwodutzer dms 168)
  • ⧖²2⧖1 (kürzer ⧖²2¹1 qua-zwodueiner dms 169)
  • 2⧖² (zwoquader dms 288)
  • 2⧖²2⧖2 (zwoqua-zwoduzwoer dms 314)
  • Ӿ⧖²Ӿ⧖Ӿ (kürzer Ӿ⧖²Ӿ¹Ӿ, elqua-elduelfer dms 1727)
  • ⧖³ (kupper, “würfel”, “dutzergleichkant” dms 1728)
  • 9⧖³ (neukupper dms 15’552)
  • Ӿ⧖³Ӿ⧖²Ӿ⧖Ӿ (kürzer Ӿ⧖³Ӿ²Ӿ¹Ӿ, elkupp-elqua-elduelfer dms 20’735)
  • ⧖⁴ (tessader von ‘tesserakt’ dms 20’736)
  • 9⧖⁴ (neutessader dms 186’624)
  • 9⧖⁴9 (neutess-neuner dms 186’633)
  • 9⧖⁴9⧖ (kürzer 9⧖⁴9¹, neutess-neudutzer dms 186’732)
  • 9⧖⁴9⧖² (kürzer 9⧖⁴9², neutess-neuquader dms 187’920)
  • 9⧖⁴9⧖³ (kürzer 9⧖⁴9³, neutess-neukupper dms 202’176)
  • 9⧖⁴9⧖³9⧖²9⧖9 (kürzer 9⧖⁴9³9²9¹9, neutess-neukupp-neuqua-neuduneuner dms 203’589)
  • Ӿ⧖⁴Ӿ⧖³Ӿ⧖²Ӿ⧖Ӿ (kürzer Ӿ⧖⁴Ӿ³Ӿ²Ӿ¹Ӿ, eltess-elkupp-elqua-elduelfer 248’831)
  • ⧖⁵ (pentader dms 248’832)
  • Ӿ⧖⁵Ӿ⧖⁴Ӿ⧖³Ӿ⧖²Ӿ⧖Ӿ (elpen-eltess-elkupp-elqua-elduelfer 2’985’983)
  • ⧖⁶ (hexader [duodez million] dms 2’985’984)
  • ⧖⁷ (heptader dms 35’831’808)
  • ⧖⁸ (oktader dms 429’981’696)
  • ⧖⁹ (nonader dms 5’159’780’352)
  • ⧖^Ɣ (deckader dms 61’917’364’224)
  • ⧖^Ӿ (elfader dms 743’008’370’688)
  • ⧖^⧖ (das ‘letzte Endliche’, der “Dutzader”, dutzer mal dutzer, 10^10; dms 12^12=8’916’100’448’256, (fast) 9 Billionen in deutsch, 9 Trillions in englisch)
  • usw…

Für die ⧖² haben wir das Wort “Quader”, und gemeinhin (nicht hier) wird darunter ein sogenannter “Rechtkant” verstanden, ein dreidimensionales Objekt, das sich darin vom Würfel unterscheidet, dass nur vier Flächen die gleiche Grösse haben müssen, während die zwei anderen sich von der Höhe der anderen vier ableiten und quadratisch sein müssen, der so aussieht:

Ein solcher Körper hat jedoch nichts mit dem Wort Quader zu tun ausser, dass all seine Flächen vier Kanten haben, und zwei davon auch quadratisch sein müssen. Folglich benutzen wir das Wort Quader hier für den Zahlenbegriff eines einfachen, zweidimensionalen Quadrates, das 10^2 dms.

Und wer sich unter 10’000 ddms, dem ⧖⁴, dem Tessader, nichts vorstellen kann, für den ist hier ein dafür nützliches Bild, das auf Wikipedia gefunden wurde. Im Internet ist dieser Körper unter ‘Tesserakt’ zu finden. Die noch höheren dann unter 5-Cube oder Penterakt, 6-Cube usw.

Weiteres kann man sich immer ausdenken, aber damit sind alle notwendigen Grundlagen, für eine Form von Zahlenbegriffen mit eingebauter geometrischer Wahrheit, gegeben.

Multiplikationstabelle des Duodezimalsystems, mit Nullen. Ist es nirgendwo zu finden, muss man es halt selber erstellen. Eine schönere, mit Tastatur geschriebene, Version wird folgen.

Mathematizismus, Diastegraphometrie und die Uhr 2

Im letzten Artikel haben wir die duodezimale Uhr eingeführt, oder die Dutzeruhr, wir haben das kartesische Koordinatensystem angeschaut, und untersucht, was Pi genau bedeutet, wie ‘gross’ es ist.

Nun gehen wir einen Schritt weiter, und schauen uns den Sinus und den Kosinus an. Sinus kommt aus dem Lateinischen, und bedeutet Bogen, Krümmung. Kosinus ist der Gegenwinkel zum Sinus, der ‘Komplementärwinkel’, der Komplementärsinus.

Hat man ein rechtwinkliges Dreieck, so hat man drei Winkel innen drinnen. Innerhalb vom Dreieck finden sich, wenn man die Grösse der Winkel zusammen zählt, 180° dms, oder in unseren Winkelminuten ausgedrückt: 30°ddms. Von einem Winkel wissen wir, dass er 90°dms beträgt, die anderen beiden zählen zusammen demnach ebenso 90°dms. Den 90°-dms-Winkel nennen wir ‘Gamma’ (γ), den Winkel beim Mittelpunkt ‘Theta’ (θ) oder ‘Alpha’, und den Winkel aussen, den Kreis berührend, ‘Beta’. Der einzige Winkel den wir hier gebrauchen, ist ‘Theta’, denn Gamma ist immer klar (immer 90°dms), und der Winkel ‘Beta’ ist stets ‘Gamma’ minus ‘Theta’.

Um die Rechnungen auf normalen Taschenrechnern überprüfen zu können, verwenden wir hier weiter das normale Dezimalsystem, mit den 360°dms für einen ganzen Kreis. Für die Hypothenuse nehmen wir stets die Grösse “eins”, den Radius des Einheitskreises. So können wir die anderen Längen einfach durch die Hypothenuse teilen, und wir haben entweder den Sinus oder den Kosinus.

Die Formel für den Kosinus ist Folgende: cos(θ)=Ankathete/Hypothenuse. Im unten aufgeführten Fall kennen wir die Ankathete nicht, aber wir kennen den Kosinus und die Hypothenuse. Daraus lässt sich die Ankathete sehr einfach berechnen, nämlich indem man umformt: Ankathete=cos(θ)*Hypothenuse, oder: Ankathete=cos(60°)*1=0.5*1. Für die Ankathete haben wir damit die Länge 0.5.

Die Formel für den Sinus ist Folgende: sin(θ)=Gegenkathete/Hypothenuse. Hier kommt es zur gleichen Umformung und Überlegung: Gegenkathete=0.866*1=0.866 für die Länge der Gegenkathte. Mit dem Kreis ist die Trigonometrie so ungeheuerlich einfach zu erklären, es fragt sich, warum man stattdessen mit dem Dreieck beginnt. Man finde einmal eine solch kurze, einfache Erklärung der trigonometrischen Grundlagen.

Wenn wir mit dem Dreieck arbeiten, so macht es Sinn, Pi zu verwenden, da wir mit 180°dms als Total der Innenwinkel arbeiten. Wenn wir aber mit dem Kreis arbeiten, so macht es mehr Sinn, ‘Tau’ (τ) zu gebrauchen, weil wir mit dem Kreis 360°dms haben. So ist es einfacher, ein ‘Tau’ für 360°dms zu haben, als ‘2π’. In Zahlen und Zeichen ausgedrückt heisst das: 360°dms=2π=τ. In unserem durch zwei Dutzend geteilten Kreis sieht die Unterteilung nach Tau dann so aus:

Die Uhr, die sich gegenwärtig auf dem Startbildschirm meines Smartphones befindet, ist ein Kompromiss, sieht aber sehr übersichtlich aus. Sie hat nur einen Stundenzeiger, Mitternacht ist ganz unten, Mittag ganz oben. Rechts findet sich weiter der Tag des Monats, und unten die genaue digitale Angabe.

Die App ist auf dem Play Store zu finden.

Mathematizismus, Diastegraphometrie und die Uhr

Diastegraphometrie ist die ‘Vermessung des dargestellten Zwischenraumes’. Sie umfasst alles, was man als Geometrie zusammenfasst, das aber nur nebenbei wirklich mit der Vermessung der Erde (Erde geo, Vermessung –metros) zu tun hat. Das ist jedoch die eigentliche Aufgabe der Geometrie: das Vermessen der Erde. Was darüber hinaus geht, sollte einen anderen Namen tragen. Alle Mathematik ist nun ‘Diasteologie’, Lehre vom Zwischenraum. Jede Zahl beschreibt den ersten Teil eines Bereichs, und den letzten, all dasjenige dazwischen wird von der Zahl nicht direkt beschrieben. Die Mathematik befasst sich damit mit den äussersten Rändern der Dinge, sie weiss dadurch um die exakte Grösse jener. Was dazwischen liegt, kann sie auch beschreiben, aber dann wieder als Umschreibung einer Art kleinerer Distanz, welche zwischen dem Vorigen liegt, und nur ein neues Erstes und Letzes ist. Das ist eigentlich die Zusammenfassung dessen, was die Mathematik tut.

Um eine mathematizistische Wahrheit zu haben, sollte diese diastegraphometrisch gebildet werden, ansonsten geschieht es viel eher, dass man mit den Zahlen und Zeichen vom Boden abhebt. Eine Zeichenformel kann zwar für den Verstand ein Beweis sein – für das menschliche Vorstellungsvermögen ist das aber nicht möglich. Es spielt keine Rolle, wie sicher die Formel ist – ohne Darstellung ist sie für das menschliche Vorstellen mangelhaft. Allerdings ist es für mathematizistische Fragen nicht Bedingung, dem Vorstellungsvermögen zu dienen, das Denken genügt ihnen.

Die Darstellung ist ein Schutz davor, zu schnell in das Weltfremde abzudriften. Da man in der Diastegraphometrie nun einmal in der Abstraktion drinnen ist, sollte man also etwas haben, das einem hilft, um sich mit den Formeln nicht zu schnell in selbigen Abstraktionen zu verlieren. So ist die Mathematik stets dazu aufgefordert, sich dazu zu überwinden, ihre Ideen und Wege durch Sprache und Bildnisse zu entwickeln. In der Mathematik kommt man zum Weltfremden schneller, als das bei anderen WA geschieht. So ist man wohl gut beraten, da speziell aufzupassen.

Wenn wir uns mit der Zeit beschäftigen, so werden die Dinge sehr schnell abstrakt, weil die Idee der Zeit an sich viel weniger fassbar ist, als alles Räumliche. Es geschieht mit den noch einmal abstrakteren Untersuchungen zu Zeit noch schneller, die klare Sicht auf das Wirkliche zu verlieren. So ist es eine besondere Leistung der Relativitätstheorien, diese zwei, das Räumliche und das Zeitliche, zu verbinden, obwohl sie dafür sehr weit in das Abstrakte hinein gehen müssen. Die Relativitätstheorien geben der Zeit räumlichen Charakter, oder zeigen zumindest den Zusammenhang der beiden in räumlicher Sprache auf.

Für diesen Artikel wird es nicht nötig sein, bis zur Relativität zu gehen, es wäre mir mit meinen Kenntnissen zu Marthematik auch nicht möglich. Wir schauen hier nur an, wie sich die gewöhnliche Zeitmessung mit einer Uhr diastegraphometrisch darstellen lässt. Dazu will zugleich auch das Duodezimalsystem verwendet werden, das Zahlensystem, das eine jeweilige Ziffer für ‘zehn’ und für ‘elf’ hat, und die Grösse zwölf sich aus den Ziffern 1 und 0 zusammensetzt. Wie sich die Dinge in diesem Zwölfersystem nennen, findet man im Artikel ‘Fragen der WA: Mathematizismus 1‘. Jener Artikel sollte als Voraussetzung für diesen gesehen werden.

Eine Uhr lässt sich im Duodezimalsystem im 24-Stunden-Format wie folgt darstellen.

Dreht man die Uhr um neunzig Grad nach rechts, so sieht sie so aus. Der Grund, die Uhr um neunzig Grad drehen ist, dass wir den Nullpunkt so auf der ‘X-Achse’, auf der Horizontalen, haben.

Und geht man dann gegen den Uhrzeigersinn, so sieht die Darstellung des 24-Stunden-Tages so aus.

Die Dutzeruhr

Nun haben wir einige Änderungen vorgenommen. Wir brauchen diese, um die Zeit diastegraphometrisch verständlich darstellen zu können. Mit dieser Darstellung der Uhr haben wir nun auch die Möglichkeit, das gewohnte kartesische Koordinatensystem zusammen mit dem Schema einer solchen Uhr zu gebrauchen.

Dies ist das kartesische Koordinatensystem. Mit diesem wollen wir arbeiten, um die Uhrzeit später diastegraphometrisch berechnen zu können. Die x-Achse ist die Horizontale, sie ist links negativ und rechts positiv. Im Zusammenhang mit der y-Achse, der Vertikalen, wird sie immer zuerst genannt. 1, 0 bedeutet also dass die x-Achse positiv 1 ist, und die y-Achse 0.

Auf diesem kartesischen Koordinatensystem können wir nun verschiedenste Einheiten aufführen. Beispielsweise ‘Winkelminuten’ und ‘Winkelsekunden’ nach dem Duodezimalsystem, wobei in Klammern der entsprechende dezimale Wert angegeben ist. Im unteren Halbkreis dann die Darstellung ohne die kleinen Zwischenwerte, damit man die Übersichtlichkeit besser erkennen kann.

Oder wir arbeiten mit ‘Pi’, mit all seinen Werten, und wir fügen dies in den ‘Einheitskreis’ ein. Der Einheitskreis ist der Kreis, wo der Radius “1” beträgt, und der Durchmesser somit “2”. Pi entsteht, wenn man den Radius, also die gerade Linie vom Mittelpunkt des Kreises bis zum Umfang, draussen auf dem Umfang hinlegt, wie es unten der rote Pfeil auf dem unteren Bild macht. Auf unserem Einheitskreis kommt der Radius nämlich auf keine gerade Zahl, er kommt, im Dezimalsystem ausgedrückt, nur auf 57,2958…°dms (ddms: 49,3672°; in unseren Winkelminuten etwas weniger als 10°ddms). Wenn man den Radius in den ganzen oberen Halbkreis, auf 180°dms also, einfügen möchte, so hat dieser Radius 3.14159…dms mal darinnen Platz. Und das ist Pi. Um den Umfang also nicht durch den Radius darstellen zu müssen, und stets diese unendlichen Kommastellen zu haben, verwendet man viel lieber Pi.

Dieser Einheitskreis hat nun verschiedene Punkte auf dem Umfang. Im Dezimalsystem ausgedrückt, haben wir einen wichtigen Punkt bei 15°, bei 30°, bei 45°, bei 60°, bei 75° und schliesslich bei 90°. Zieht man von jedem dieser Punkte eine horizontale und eine vertikale Linie auf die x-Achse und auf die y-Achse, so schneiden diese Linien diese Achsen. Aber diese Schnittpunkte sind keine einfachen Zahlen, wie “1/4” oder “1/6”, sondern “√3/2” und dergleichen. Die Ausnahme sind die Winkel 30°dms und 60°dms, welche eine ihre jeweiligen Achsen genau in der Hälfte schneiden. Dies lässt sich wie folgt darstellen. Ausserhalb des Kreises finden sich zwei Grössen, welche durch ein Komma getrennt sind. Links vom Komma ist die Grösse, welche zur x-Achse gezogen wird, rechts die Grösse, welche zur y-Achse gezogen wird. Die Terme, welche am nächsten zum Mittelpunkt sind, und jene welche am nächsten zum Schnittpunkt der Hauptachsen zum Umfang sind, sollten mit Klammern ausgedrückt werden, damit man weiss, wie sie sich tatsächlich zusammen setzen: ((√3)-1)/(2√2) und (1+√3)/(2√2). Aufgrund eines Platzmangels wurden die Klammern weggelassen.

Und wenn wir dabei sind, wollen wir auch gleich die Position des Sinus und des Kosinus auf dem Einheitskreis eingeben, und schauen, wie das aussehen kann. Woher der Sinus und der Kosinus kommen, werden wir noch sehen. Hier sind die beiden einfach einmal in den Kreis eingefügt, damit man sieht, dass da vieles möglich ist. Geben wir dem Radius ’10 duodezimale Winkelminuten’, so haben wir für den Sinus einen Wert von ⅟₂ auf der x-Achse, und für den Kosinus, den wir an der y-Achse ablesen, √3/2.

So viel erst einmal zur Darstellung des kartesischen Systems mit unserer Duodezimal-Uhr.

Im Folgenden werden wir die Trigonometrie dazu nehmen (also Dreiecke), wir werden das Pi durch das Tau ersetzen, und schauen, was das bewirkt, und neben Sinus und Kosinus noch all die anderen nützichen Funktionen dazu nehmen, wie den Tangens, den Arktangens usw, und aus dem Kreis heraus gehen. Und später wollen wir schauen, wie sich das Ganze auf einer Zeitachse neben der Uhr darstellen lässt, wie der Sinus, der Kosinus und all die anderen sich dort in Linien-, Wellen- und Parabelform zeigen.

Das alles hat zum Ziel, unserem Verständnis von Zeit dadurch etwas näher kommen, dass wir nicht einfach vom Ziffernblatt der Uhr eine Zahl ablesen, ohne uns vorstellen zu können, wie Zeitpunkte denn miteinander in Beziehung stehen. Die Zeiger sind drei Hypothenusen, welche stets ihre jeweiligen rechtwinkligen Dreiecke bilden. Der eine dreht sich um das Blatt in 72 Sekunden dms, der andere in 60 Minuten dms, und der letzte in 24 Stunden dms. Dadurch gehen die die Sekunden etwas schneller voran, als man es sonst kennt, denn die Stunde behält in diesem System die gleiche Dauer. Die genaue Geschwindigkeit einer Sekunde beträgt so 72 Schläge in einer gewöhnlichen Minute (60 dms-Minuten/h). Lieder mit 72bpm sind ‘All Shook Up’ von Elvis Presley oder ‘I Walk Alone’ von Tarja. Ich konnte leider keine gute Musik mit diesem Tempo finden, wo ein Schlagzeug sauber den Takt angibt, und der Gesang diesem auf eine Weise folgt, das dieser einen mitzieht. Das meiste scheint mir noch schlechter zu sein, als die zwei. Wir haben also drei Ziffernangaben, wobei sich die Ziffern für die Sekunde und die Ziffern für die Minute unterscheiden. Ist die Minute durch 72 geteilt anstatt durch 60, hat man die Möglichkeit, die Zeit mit dem Duodezimalsystem besser aufteilen zu können. Folgendes ist mit dem Duodezimalsystem gerechnet.

Einige Umrechnungen von dezimal zu duodezimal: 60dms = 50ddms; 72dms = 60dms; 24dms = 20ddms; 288dms = 200ddms; 4dms = 4ddms; 103’680dms = 50’000ddms; 51’840dms = 26’000ddms; 720dms = 500ddms; 360dms = 260ddms; 86’400dms = 42’000ddms; 25’920dms = 13’000ddms.

Ein Tag hat also, im Duodezimalsystem (ddms) geschrieben, hat 20 Stunden ddms, eine Stunde hat 50 Minuten ddms, eine Minute hat 60 Sekunden ddms. Der Tag hat also 20*50*60 = 50’000 Sekunden ddms. Ein Grad beträgt auf dem Umkreis der Uhr dadurch 50’000/260 = 200 Sekunden ddms, oder 4 Minuten. Pi beträgt auf der 20-Stunden-ddms-Uhr so 50’000/2 = 26’000 Sekunden ddms, oder 500 Minuten ddms. Ein Grad auf der Sekundenziffer entspricht hier 0.2s ddms. Auf der 50-ddms-Minutenziffer ist ein Grad 0.4min ddms. Es sind alles wunderschöne, einfach teilbare, abgeschlossene Grössen.

Im Dezimalsystem mit der 72-Sekunden-dms-Minute geschrieben: 1 Tag = 24h, 1h = 60min, 1min = 72s. Der Tag hat 24*60*72 = 103’680s. 1° = 103’680/360 = 288s, 288/72 = 4min. Pi entspricht 103’680/2 = 51’840s, oder 720min.

Das platonische Jahr dauert (mit dem Duodezimalsystem geschrieben) 13’000 Jahre ddms, während es mit dem gewöhnlichen Dezimalsystem geschrieben 25’920 Jahre dauert. Ersteres ist doch eine viel angenehmere Darstellung zum Kopfrechnen von grossen zyklischen, geometrisch repräsentierbaren Zeiten. Ein Grad auf dem Kreis des platonischen Jahres beträgt 60 Jahre ddms (60 Jahre ddms * 260° = 13’000 Jahre ddms).

Das erste Beispiel ist eine sehr schöne Darstellung von Zeit. Mit dem Dezimalsystem, und der normalen Minute mit 60 Sekunden dms, ist das viel weniger schön darzustellen. Nur um es zu zeigen: 24 Stunden dms haben 60 Minuten dms, und diese haben wiederum 60 Sekunden dms. Der Tag hat also 24*60*60 = 86’400 Sekunden dms. Ein Grad beträgt auf dem Umkreis der Uhr 86’400/360 = 240 Sekunden dms, oder 4 Minuten. Pi (die Hälfte des Umkreises) beträgt auf der 24-Stunden-dms-Uhr so 86’400/2 = 43’200 Sekunden dms, oder 720 Minuten dms.

Hier ein Beispiel, wie eine solche Uhr aussehen könnte, damit einem die zusätzliche Ziffernanzeige nicht verwirrt. Wir haben also drei Ziffernangaben, von aussen nach innen eine für 20h ddms, eine für 50min ddms, und eine für 60s ddms. Mit einer solchen Uhr brauchen wir keinen Zeiger, wir haben stattdessen drei Ringe, die mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten rotieren. Das sind drei Ringe, wobei die Sekunde ganz innen liegt, die Stunde ganz aussen, und die Minute zwischen den beiden. Dies, damit der Sekundenring nicht rundherum rasen muss. In der Natur ist das Langsamere für gewöhnlich auch das Grössere, so sei der grösste Ringe in diesem Beispiel auch der langsamste. Der mittlere Radius ist ‘1’, der innere ‘0,5’, und der äussere ‘1.5’. Eine positive Linie auf der X-Achse zeigt den momentanen Zeitpunkt an, an dem die Ringe vorbeidrehen. Man braucht also immer nur auf den gleichen Punkt zu schauen, um die Zeit abzulesen. Es ist dann im Prinzip wie die Anzeige einer Digitaluhr, wobei die Sekunde links, die Minute in der Mitte, und die Stunde rechts abzulesen ist. Die Ringe drehen im Uhrzeigersinn, und so geht das Auge, wenn es den gleichen Punkt auf einem Ring betrachtet, auf dem Ring gegen den Uhrzeigersinn. Und da der Rest der Uhr eigentlich nicht gebraucht wird, um die Zeit abzulesen, kann man dort andere Informationen finden, wie eine Zeitmessung mit geometrischen Formen, oder die sich ändernde Uhrzeit des Sonnenaufganges und Unterganges usw. Was auch immer einem (z.B. Stadtmenschen) hilft, in einem angemessenen Verhältnis zur Aussenwelt zu leben, und sich von dieser nicht (weiter) zu entfremden.

Das Ablesen einer Uhr in der Reihenfolge Sekunde, Minute, Stunde, von links nach rechts, ist man sich sprachlich gewöhnt. Man redet stets zuerst von der Minute und dann der Stunde, wenn man eine Uhrzeit mitteilt.

Hat man Diastegraphometrie zur Hand, um sich unter den Zeitbegriffen etwas weniger Abgehobenes vorstellen zu können, so ist dem Menschen bestimmt etwas Gutes getan.